Javascript, php, mysql

Nie bardzo Cię rozumiem. Po pierwsze jakiego skryptu potrzebujesz PHP/JS?
Jeżeli Cię dobrze rozumiem to możesz zrobić to w ten sposób:
Masz plik index.html, pod niego podpiąłeś plik api.js który pobiera sobie wartość z adresu api.php używając przy tym GET. Przy okazji możesz sobie aktualizować i co tam chcesz. Czyli api.js wysyła żądanie do api.php?update=zmienna, natomiast api.php wykonuje algorytm update'u i zwraca wartość (w np. JSON) i z tej wartości aktualizujesz sobie index.html
 

Musisz użyć AJAX'a żeby wstawić do JS dane ze zmiennych (wartości pobrane z bazy) z PHP lub je przesłać do PHP.

Bez odświeżania raczej tego nie zrobisz bo PHP nie może wykonać danego zapytania bez wysłania żądania lub danych lecz mógłbyś przez link to zrobić ale raczej to i tak nie zadziała bez odświeżania